Интегралы (Сергей Брагин). Как известно, интегралы являются проблемой для многих студентов, изучающих высшую математику в ВУЗе. Дело в том, что не существует единого алгоритма взятия интегралов, к каждой задаче нужно подходить по-своему, пробовать применять разные методы. Именно поэтому иногда говорят, что интегрирование — это искусство. Кроме того, интегралы носят огромный прикладной характер: с их помощью можно вычислять площади фигур, объёмы тел, решать физические задачи. Данный курс даёт понятие об основных методах интегрирования и приложении их к реальным задачам.

Непрерывность: от определения до разрезания блинов (Андрей Карпов). Математический анализ – традиционный камень преткновения для студентов младших курсов практически любой математической специальности в любом высшем учебном заведении. Проблемы с ним, как правило, возникают из-за малого количества наглядных примеров и объяснений «сути» доказательств. Данный курс дает представление об одном из основных понятий анализа – непрерывной функции, учат с ним работать, дает интуитивно понятные доказательства, которые можно «потрогать», и в конце концов выводит слушателей к этапу формализации полученных знаний. Курс содержит как классические теоремы (о неподвижной точке, о достижении максимума на отрезке и т.д.), так и задачи с простыми и понятными формулировками, решения которых опираются на аппарат математического анализа (теоремы о блинах и т.д.). Задача курса состоит в формировании у детей понимания данной дисциплины и того факта, что начала анализа – это легко и красиво.

Задачи оптимизации (Валерия Оксиненко). Любой экономист да и просто ценящий свое время и деньги человек стремится минимизировать затраты и достичь максимального результата. Нередко для этого приходится делать выбор среди альтернатив, соизмеряя стоимость тех или иных ресурсов, их количество, необходимое для производства продукции. Решение подобных задач не является затруднительным, если альтернатив немного, но рост их количества повышает уровень сложности в разы. Как же сделать все эти расчеты в рамках организации? Или целого государства? Здесь на помощь приходят методы линейного программирования, освоению которых и посвящен данный курс.

Сангаку (Антон Айзенберг). Япония, период Эдо (1603-1868 н.э.). Эпоха расцвета японской культуры. А также эпоха железного занавеса, практически не пропускавшего в страну чужаков. В это время в Японии появились многие оригинальные виды искусства и традиции, ассоциирующиеся у нас с этой удивительной страной. Среди прочих многочисленных традиций в это время в стране восходящего солнца зародилась малоизвестная на западе традиция сангаку. Японцы — математики и простые обыватели, старики-монахи и молодые люди, - доказывали планиметрические теоремы, красиво оформляли их на деревянных табличках и вешали в святилищах синто и буддийских храмах. Другие люди, проходя мимо, созерцали геометрическую красоту, задумывались и, возможно, доказывали свои обобщения и аналогии. Среди сохранившихся до наших дней табличек можно найти чрезвычайно элегантные и порой далеко нетривиальные геометрические факты, многие из которых не были обнаружены европейскими математиками. Курс посвящен преимущественно японской геометрии — как простой, так и сложной, однако в нем будут присутствовать более известные и общезначимые факты, близкие по духу к японской геометрии. Стоит отметить, впрочем, что (1) Курс практической ценности не представляет, и направлен на получение удовольствия от созерцания логической красоты простых объектов. (2) В рамках курса не изучается теория. В ходе него в основном решаются задачи, для некоторых из них требуется решение задач-лемм. Большинство задач, как и решений, между собой никак не связаны. (3) Приветствуется творческий подход к прослушиванию курса, выражающийся в придумывании собственных задач и теорем и оформлении их на табличках.

Многомерные кубы (Юрий Рудько). Данный курс не имеет никакого прикладного значения. Не исключено, что после его окончания весь пройденный материал забудется и больше никогда не вспомнится. Но возможно, он станет началом чего-то большого и захватывающего. Это один из тех сюжетов, за которые люди влюбляются в математику. Курс учит с помощью средств, доступных едва ли не пятикласснику, получать некоторые результаты о многомерных кубах – материях настолько абстрактных, что даже специалисты порой теряются в них.

Арифметика функций (Григорий Коротеев). Данный курс читался на второй неделе смены 2011 года для школьников, окончивших 9-10 классы. Он представляет собой практикум по решению задач школьных олимпиад, в которых демонстрируются значимость понятия функции и некоторые достаточно часто встречающиеся конструкции. На самих семинарах разбирались идеи и оригинальные решения участников, которые часто были не менее интересны, чем авторские или преподавательские. Последнее занятие было посвящено выводу простейших тригонометрических формул Рамануджана.

Геометрия Лобачевского (Максим Гумин). Геометрия Лобачевского возникла как абстрактная теория, основывающаяся на аксиомах евклидовой геометрии, где вместо пятого постулата (через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, параллельная данной) бралось его отрицание. Долгое время оставалось неясным, можно ли таким образом обращаться с аксиомами, предпринимались многочисленные попытки доказать противоречивость измененной системы аксиом. С появлением элементарных моделей геометрии Лобачевского стало понятно, что она не более противоречива, чем Евклидова геометрия, и что последняя не является единственно возможной. В курсе будет рассказано об истории попыток доказательства пятого постулата, но сама геометрия Лобачевского будет излагаться не аксиоматически, а через модели, в духе Эрлангенской программы Клейна.

Графы (Катя Марченко).

Знакомство с математической логикой и теоремы Геделя о неполноте (Максим Гумин). Первая теорема Геделя о неполноте является, пожалуй, самой известной теоремой математики XX века. Она утверждает, что при любом определении формального доказательства найдутся истинные, но не доказуемые утверждения. Тем самым математику невозможно свести к синтаксической игре. Согласно второй теореме о неполноте, непротиворечивость достаточно общих систем аксиом, типа системы аксиом ZF теории множеств, невозможно доказать финитными методами. На курсе мы познакомимся с основными понятиями и феноменами математической логики и теории алгоритмов (языки первого порядка, алгоритмически неразрешимые задачи...) и, используя этот аппарат, строго докажем первую теорему о неполноте. Мы увидим, как, с одной стороны, конкретные математические теоремы могут иметь большое значение для философии, а с другой, какую роль в математике играют философские идеи (логический позитивизм, категориальная система Канта, нотация Рассела, проблема бороды Платона и гипотеза сильного ИИ).

Сферическая геометрия (Маша Белякова). Сферическая геометрия — математическая дисциплина, изучающая геометрические образы (точки, линии, фигуры), находящиеся на сфере, и соотношения между ними. Считается, что начала неевклидовой геометрии были заложены Лобачевским и Гауссом. Но на самом деле, люди ещё задолго до их открытий владели содержательной геометрической схемой, отличной от традиционной геометрии Евклида, т.е. уже знали одну из неевклидовых геометрий. Основные факты сферической геометрии были основательно изучены еще в древности в связи с задачами астрономии. Поскольку поверхность земли приближенно имеет форму сферы, можно утверждать, что "земная геометрия" также является геометрией сферической (это реально ощущается при измерениях, затрагивающих значительные участки земной поверхности).

Комплексные числа (Антон Айзенберг). Все знают, что не существует такого вещественного числа, что его квадрат равен минус единице. А что будет, если придумать такое НЕвещественное число i, которое в квадрате даёт -1? Тогда, если мы хотим складывать i и обычные числа, и умножать i на обычные числа, то надо ввести числа вида a+bi, где a и b вещественные. Такие числа и называются комплексными. На первый взгляд, это кажется абсурдным: зачем выдумывать такие числа? Только для того, чтобы квадратное уравнение имело решение? Не совсем. Многие явления природы удобнее описывать с помощью комплексных чисел, да и большинство теорем в математике становятся проще, если использовать комплексные числа вместо вещественных. Каждый, кто собирается заниматься математикой или естественными науками, рано или поздно с ними столкнется. Но при этом основные факты о комплексных числах несложны и доступны восьмикласснику.

Мартин Гарднер (Егор Чикунов). Мартин Гарднер — известный американский математик, специалист в области популярной математики. Курс включает в себя удивительные и интересные факты из самых разных областей математики, которые к тому же могут пригодиться и на практике при решении олимпиадных задач. Курс преследует цель привить интерес школьников к математике, показать неожиданные задачи.

Машинная графика (Сергей Карпухин). В последние 60 лет возможности компьютеров возросли и вышли за пределы одних вычислений: их начали применять для работы с графической информацией. Это привело к созданию новых разделов математики: машинной графики и вычислительной геометрии. Машинная графика изучает алгоритмы отрисовки различных объектов компьютером; вычислительная геометрия — алгоритмы анализа геометрических объектов. В курсе рассмотрены алгоритмы отображения различных фигур (они реализованы в видеокартах, принтерах и графических библиотеках) и задача отсечения (применяется для отображения нескольких пересекающихся объектов, например при отрисовке окон или построении карт).

Множества (Катя Марченко).

Олимпиадный семинар (Сергей Скопинцев).

Оптимизационные задачи планиметрии (Антон Айзенберг). Ни у кого не вызывает сомнения, что луч света — прямой. Все, кто видел пятно фонарика или лучи заходящего солнца над кромкой леса, в это без труда поверят. Чем прямая лучше любой другой траектории? Оказывается имеется принцип Ферма, согласно которому свет "выбирает" тот путь, пройдя по которому он затратит наименьшее время. Иными словами, свет распространяется по оптимальной траектории. Время распространения по прямой меньше, чем время распространения по любой другой кривой, поэтому луч света — прямой. Допустим, мы наложили на свет дополнительные условия: пусть луч света идет из точки А в точку Б, но между делом отражается от некоторой поверхности. Как найти траекторию луча в этом случае? На подобные вопросы мы и постараемся ответить, используя исключительно математические методы. Кроме того, существуют ведь и другие задачи, в которых нужно что-то сделать оптимальным образом. Например, как прорыть подземный переход, соединяющий четыре точки на углах перекрестка, чтобы рыть как можно меньше? Подобные задачи нетривиальны, интересны и незаслуженно проигнорированы школьной геометрией. По ходу курса планируется рассказать оптические свойства конических сечений и основы общей топологии на плоскости — обе теории играют важную роль в доказательствах задач, сформулированных выше.

  Кафедральный семинар (Павел Андреянов, Алина Базарова, Маша Белякова, Максим Гумин, Сергей Карпухин, Григорий Коротеев, Катя Марченко, Сергей Скопинцев). На смене 2010 года выбор первой пары по математике ограничивался тремя направлениями т.н. кафедрального семинара. Цель этого семинара — научить тому, что необходимо знать каждому школьнику вне зависимости от его дальнейшей специализации. Семинар имел двойную градуировку: по направлению и по уровню сложности. А именно, всего было 3 направления (направление общей математики, направление физики и геометрии, направление дискретной математики) и 3 уровня сложности (базовый, промежуточный, продвинутый). При этом они чередовались так, что школьник, решивший на всех трех неделях выбирать, например, базовый уровень сложности, автоматически попадал на все 3 направления. Среди тем, разобранных на семинаре, были: множества, рациональные и действительные числа, построение графиков, планиметрия, стереометрия, делимости, арифметика остатков, комбинаторика, производящие функции, математическая индукция, производная, задачи с параметрами, типичные олимпиадные задачи.

Планиметрия (Альбина Севенюк). Многие школьники задаются вопросом "Зачем изучать геометрию, если он нее нет никакой практической пользы?" Действительно, зачем? Геометрия отличается от школьных (даже математических) курсов четкой структурой и последовательностью вывода утверждений. Поэтому, овладевая геометрией, овладеваешь способностью структурного и последовательного мышления, понимаешь, что такое доказательство. На курсе можно не только устранить свои пробелы в школьной программе по геометрии, но и научиться видеть ее красоту и стройность, научиться строгому логическому мышлению и понять общее устройство точных наук.

Производящие функции (Антон Айзенберг). Комбинаторика — это не только олимпиадные задачки, но и серьезная область исследования. Очень многие алгебраические, геометрические, топологические, вероятностные задачи сводятся к подсчету числа объектов определенного рода. Таким подсчетом как раз и занимается комбинаторика. Думаю, нет нужды говорить, что в прикладной математике, всяком там computer science, комбинаторика также играет главную роль. В комбинаторике есть несколько основополагающих методов, одному из которых — производящим функциям — и будет посвящен этот курс. Вы наверняка видели треугольник Паскаля и знаете как посчитать его элементы. На него можно долго смотреть и придумывать про него разные теоремы. Поначалу примерно этим мы и займемся. Постепенно, мы подойдем к понятию производящей функции и научимся решать произвольные линейные рекуррентности. В частности, выведем явную аналитическую формулу для чисел Фибоначчи, и поймем как они связаны с золотым сечением. Также планируется прорешать две другие известные проблемы: задачу о числе счастливых билетов и задачу о суммировании биномиальных коэффициентов взятых с определенным интервалом.

Теория игр (Федор Соловьев). Теория игр — это раздел прикладной математики, изучающий оптимальные стратегии в играх. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках: социологии, политологии, психологии, этике и других. В курсе будет рассказано о наиболее базовых, простых задачах решаемых с помощью теории игр. Однако, и эти задачи будут достаточно непросты и интересны для слушателя, только начинающего свое знакомство с этим разделом математики.

Топология (Максим Гумин). Топология изучает свойства фигур и пространств, инвариантные относительно непрерывных деформаций. За последнее столетие она превратилась из небольшой коллекции примеров в развитую науку, имеющую приложения ко многим разделам математики и физики. Цель курса — познакомить школьников именно с базовыми и наглядными примерами топологии (двумерные поверхности, векторные поля, деформации эластичных тел) и показать, как топологические соображения (замкнутость, теорема о промежуточном значении, конфигурационное пространство) могут работать в несвязанных, на первый взгляд, с топологией задачах.

Элементы теории чисел (Федор Соловьев). Теория чисел — наука, в основу которой легло изучение свойств натуральных чисел, которое было начато еще математиками древности. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. Элементарная теория чисел изучает целые числа и их взаимоотношения. Элементарная теория чисел затрагивает такие вопросы, как делимость чисел, поиск наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, решение диофантовых уравнений, совершенные числа, модулярная арифметика. Эти, и некоторые другие вопросы и будут рассмотрены в рамках курса «Элементы теории чисел».  Излагаемый материал рассчитан на школьников 8-10 классов.

Введение в теорию групп (Антон Айзенберг). В курсе рассказывается о необычном и новом для школьников понятии группы, являющемся одним из важнейших понятий в математике. В самом примитивном понимании, группа - это термин для описания множества симметрий некоторого объекта. В таком виде группы возникают в химии и лежат в основе многих фундаментальных физических теорий. Кроме того, абстрактное определение группы приводит к множеству приложений как в теоретической, так и в прикладной математике, включая геометрию, комбинаторику и теорию чисел.

Многогранники (Антон Айзенберг). В школе на стереометрии начиная с 10го класса изучаются объемные фигуры, к которым обычно причисляют кубы, всевозможные пирамиды, конусы, цилиндры и шары. При этом оказывается скрытой огромная и чрезвычайно богатая теория многогранников - объектов очень естественных и при этом достаточно сложных и интересных. Примеры естественных вопросов, которые мы разберем на занятиях: почему склеенный из бумаги выпуклый многогранник нельзя изогнуть? Можно ли разрезать куб на кусочки и сложить из них правильную пирамиду? Для того чтобы понять ответы на эти и другие вопросы мы будем использовать помимо знания основ стереометрии и векторов теорию графов, алгебру многочленов, комплексные числа, сферическую геометрию, функциональные уравнения и многое другое.